È obbligatorio inserire i dati della ditta nel modello SCIA?

ovviamente la risposta è: si devi comunicare la ditta prima dell'inizio dei lavori.
se lavori con sportello telematico dovrai comunicarlo attraverso il modulo soggetti coinvolti.
altrimenti via pec.
se non lo fai rischi, in caso di controllo, la sospensione o addirittura l'annullamento della pratica ed una sanzione pecunaria.
Non avendo indicato peraltro l'impresa, di certo dovrai comunicare l'inizio dei lavori ergo, vedi bene la normativa.

È possibile comunicarlo quando faccio la chiusura dei lavori?

Purtroppo non l'ho fatto ed ho iniziato i lavori a dicembre. In ogni caso so che il comune può effettuare controlli nei 30 giorni dopo l'inizio lavori. Essendo passati di molto può essere che non vengano più effettuati controlli?

Sei comunque in torto. Come risolvere ora non saprei. Credo che per il comune i lavori non li hai iniziati, in quanto non hai comunicato l'impresa (essendo obbligatorio comunicarla prima dell'inizio dei lavori)

Non è possibile quindi comunicare l'impresa dopo l'inizio dei lavori tramite pec?

Valuta se parlarne preventivamente con il tecnico comunale. Sulla carta siete in difetto perché avete iniziato i lavori senza poterlo fare, nella pratica potresti trovare (soprattutto in un Comune più piccolo) un tecnico un po' più "elastico" che considera veniale questa dimenticanza e ti suggerisce come uscirne (sarebbe una forzatura, ma alcuni tecnici sono meno fiscali di altri). Naturalmente nel momento in cui sollevi l'argomento ti metti nelle mani del tecnico, che può anche attenersi al fatto che state facendo i lavori senza averne titolo ed agire di conseguenza contro di voi (ordinanza).